Tangencias a dos circunferencias

Tangencias dados dos elementos

Tangencias. Teoremas fundamentales y lugares geometricos

Ejercios de tangencias y enlaces

Ejemplos Resueltos

Haz no secante o haz ortogonal

Circunferencia auxiliar que:

*radio t = potencia
*centro en el punto de corte del eje radical con la linea de centros
*Sus radios son tangentes a todas las circunferencias del haz en cada punto de contacto

Haz Coaxial

Haz Coaxial: conjunto de circunferencias que tienen el mismo eje radical.

 Haz Secante: haz coaxial de circunferencias secantes entre si ;sus centros están alineados en la recta perpendicular a la secante

Haz Tangente: haz coaxial de circunferencias tangentes entre sí y tangentes al eje radical en el punto de tangencia

Haz no secante o haz ortogonal: haz coaxial exterior.

Centro radical a tres circunferencias

CENTRO RADICAL: 
El punto O que tiene la misma potencia respecto de las tres circunferencias 
Es la intersección de los ejes radicales. Basta con hallar la intersección de 2 

EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES

*trazamos una circunferencia cualquiera secante a ambas
*trazamos el eje radical de esta con cada una de ellas 
*por el punto de intersección de los dos ejes trazamos una perpendicular a la línea de centros= eje radical

*Si las circunferencias exteriores tienen el mismo radio, el eje radical será la mediatriz de la línea de centros.

EJES RADICALES

Recta que contiene la misma potencia respecto a dos circunferencias.
Siempre es perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias.
Ejemplos gráficos:

Potencia por el centro de la circunferencia

 
Como la tangente elegida es independiente para hallar la potencia:

Elegimos la que pasa por el centro de la circunferencia. Llamado r al radio y d a la distancia entre el punto P y el centro de la circunferencia
Potencia = d2 - r2
Potencia = PA1 x PA2 = (d - r) x (d + r) = d2 - r2

Potencia de un punto

*Desde P trazamos dos secantes cualesquiera a la circunferencia
*La cortan en los puntos A1, A2,B1,B2
*unimos A1 con B2 y A2 con B1

COMPROBAMOS QUE:
*PA1 X PA2=PB1 X PB2 =POTENCIA
*Los triángulos PA1B2 y PA2B1,son semejantes, puesto que los ángulos en P coinciden y los ángulos en A2 y B2 son iguales por estar inscritos en el mismo arco A1B1 (arco capaz)
*Todas estas comprobaciones demuestran la independencia de la secante elegida para hallar la potencia de una circunferencia con respecto de un punto

TIP:Las tangentes siempre son perpendiculares al radio que pasa por el punto de tangencia.
Recordad que para hacer la perpendicular a una recta que pasa por un punto Con centro en el punto P y radio cualquiera se trazan dos arcos a ambos lados desde esos puntos de corte trazamos arcos que se cruzan en un punto. Unimos ese punto de corte con P y esa es la recta tangente que pasa por el punto 

Tip: Muchos os confundís haciendo la circunferencia desde el punto de tangencia pero hay que hacerla desde el punto medio de la linea que une O con P. La circunferencia pasa por P y corta a la circunferencia inicial en los puntos de tangencia de tangentes que pasan por P