Apolonio dió respuesta a los principales problemas de tangencias, mediante su teorema, el teorema de Apolonio en el que da respuesta al trazado de una circunferencia dados tres elementos, ya sea un punto (P), una recta (R), o una circunferencia (C). Éste lo citó de la siguiente manera:
"Dados tres elementos (punto, recta o circunferencia), trácese una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres."El teorema de Apolonio da respuesta a los diez casos de tangecias. Estos son:
1.PPP_Construcción de una circunferencia que pasa por tres puntos
El centro de la circunferencia es la intersección de las mediatrices de los segmentos que unen los puntos
"Dados tres elementos (punto, recta o circunferencia), trácese una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres."El teorema de Apolonio da respuesta a los diez casos de tangecias. Estos son:
1.PPP_Construcción de una circunferencia que pasa por tres puntos
El centro de la circunferencia es la intersección de las mediatrices de los segmentos que unen los puntos
2.PPR_Dados dos puntos y una recta, hallar la circunferencia tangente a la recta y que pase por los dos puntos
- unimos A Y B segmento AB (eje radical)
- mediatriz del segmento AB. (linea de centros )
- circunferencia auxiliar con centro en un punto O cualquiera de la mediatriz
- intersección P de la recta AB con r
- trazamos la tangente PT a la circunferencia O ( teorema potencias)
- lo transladamos a la recta y nos da los puntos de tangencia T1 y T2
- Perpendiculares a la recta por T1 y T2 cortan a la mediatriz en O1 yO2
- circunferencias desde 01 y O2 a A y
3.RRR_Dadas tres rectas, construir la circunferencia tangente a las tres RRR
- bisectrices de los ángulos interiores y exteriores que definen las tres rectas
- O1 intersección de las bisectrices interiores
- perpendicular desde 01 a las rectas ->radio interior
- O2, O3 y O4 intersección de las bisectrices de los ángulos exteriores
- perpendiculares a las rectas--> radios
4.PPC_Dados dos puntos y una circunferencia, trazar la circunferencia tangente que pasa por dos puntos y es tangente a otra circunferencia
- unimos P Y Q (eje radical)
- mediatriz del segmento PQ. (linea de centros )
- circunferencia auxiliar con centro en un punto O cualquiera de la mediatriz que pase por P y Q y que corte a la circunferencia dada
- eje radical de dos circunferencias secantes ( linea que une los puntos de corte)
- R es el centro radical (interesección de ejes radicales)
- las tangentes a C desde R nos da T1 y T2
- Unimos 0 con T1 y T2 y prolongamos hasta cortar a la mediatriz de PQ
- circunferencia desde 01a T1 y O2 a T2
5.PRR_Dados un punto y dos rectas, hallar la circunferencia tangente que pasa por un punto y es tangente a dos rectas
- Bisectriz r y s
- Perpendicular a la bisectriz por P
- P´simetrico a P por la perpendicular
- problema PPR
6.PRC_Dados un punto, una recta y una circunferencia, construir la circunferencia tangente a los tres elementos dados
Tomamos una inversión de centro el punto dado P y potencia de inversión K = PT2inversa de sí misma.A continuación hallamos la inversa de la recta r, que será una circunferencia de centro O’’’, y trazamos una tangente común t a las circunferencias O’’ y O’’’. La inversa de esta tangente será una de las circunferencias solución de centro O1.Para hallar el resto de soluciones, basta trazar las restantes tres tangentes comunes a O’’ y O’’’, y las inversas de esas tangentes serán las otras tres soluciones del problema., transformando así O en
7.PCC_Hallar la circunferencia tangente que pase por un punto y sea tangente a otras dos circunferencias dadas
Se dan las circunferencias O y O’ y el punto P. Tomando P como centro de inversión, la circunferencia O se transforma en sí misma si la potencia de inversión es K = PT2T el punto de tangencia de la tangente trazada desde P a la circunferencia O. Hallamos a continuación la inversa de O’, que será otra circunferencia de centro O’’’.Si trazamos una tangente común t, a las circunferencias de centros O’’ y O’’’, la figura inversa de esta recta será una de las circunferencias solución, de centro O1. Para hallar las restantes soluciones del problema no tenemos más que trazar las otras tres tangentes comunes a las circunferencias O’’ y O’’’ y hallar sus inversas. En la figura sólo se ha trazado una de las cuatro soluciones posibles.
8.RRC_Dados dos recta y una circunferencia, construir la circunferencia tangente a las rectas y a la circunferencia
Si trazamos paralelas a las rectas a una distancia igual al radio de la circunferencia y le restamos a esta su propio radio, reducimos este problema al PPR. Los procedimientos para resolverlo son los mismos y sólo tendríamos que sumar o restar a las circunferencias obtenidas el radio de la dada. En la figura se ha resuelto el caso por homotecia, y sólo se han trazado dos de las soluciones.
9.RCC_Dados una recta y dos circunferencias, trazar la circunferencia tangente a la recta y a las dos circunferencias
Si restamos a las circunferencias dadas el radio r de la menor y, además, trazamos una paralela a la recta dada a una distancia igual a r, el problema queda reducido a PRC. El procedimiento para resolverlo es el mismo y sólo tendríamos que sumar o restar, a las circunferencias obtenidas, el radio r. En la figura sólo se ha trazado una de las posibles soluciones.
10.CCC_Dadas tres circunferencias, hallar la circunferencia tangente a las tres dadas CCC
Si le restamos a las tres circunferencias dadas el radio r1 de la menor, el problema queda reducido al caso tratado en el apartado 6, punto, circunferencia, circunferencia. El procedimiento para resolverlo es el mismo y sólo deberemos sumar o restar el radio r1 a las circunferencias que obtengamos y tendremos las soluciones del problema. En la figura sólo se ha trazado una de estas soluciones.
